- W.Auzinger,
O.Koch, P.Kofler,
E.B.Weinmüller,
Acceleration Techniques for Singular Initial Value Problems,
Technical Report No. 129, Department of Applied
Mathematics and Numerical Analysis, Vienna University of Technology, Vienna,
Austria 2000.
Abstract.
We consider the numerical solution of singular initial and terminal value
problems using various low-order Runge-Kutta methods. With these
basic solutions, we investigate the acceleration technique known as
Iterated Defect Correction (IDeC). We show that the performance depends
crucially on the asymptotic expansions of the global error. The results
are compared with the asymptotic properties of extrapolation.
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- W.Auzinger, O.Koch, P.Kofler, E.B.Weinmüller,
The Application of Shooting to Singular Boundary Value Problems,
Technical Report No. 126, Department of Applied
Mathematics and Numerical Analysis, Vienna University of Technology, Vienna,
Austria 1999.
Abstract.
A certain class of singular boundary value problems is solved numerically
using the shooting method. The associated initial value problems are solved
using Iterated Defect Correction, where the implicit Euler rule serves as
the basic method.
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Some of the above results were presented at the 18th Dundee Numerical Analysis
Conference 1999 in Dundee, Scotland, UK.
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- O.Koch, P.Kofler, E.B.Weinmüller,
Analysis of Singular Initial and Terminal Value Problems,
Technical Report No. 125, Department of Applied
Mathematics and Numerical Analysis, Vienna University of Technology, Vienna,
Austria 1999.
Abstract.
Analytical properties like existence, uniqueness and smoothness of bounded
solutions of nonlinear singular initial value problems for ordinary
differential equations of first and second order are considered. Particular
attention is paid to the structure of initial conditions which are necessary
and sufficient for the solution to be continuous. All proofs are given in
full detail.
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- W.Auzinger, P.Kofler, E.B.Weinmüller,
Steuerungsmaßnahmen bei numerischer Lösung singulärer
Anfangswertprobleme,
Technical Report No. 124, Department of Applied
Mathematics and Numerical Analysis, Vienna University of Technology, Vienna,
Austria 1999.
Zusammenfassung.
Wir betrachten nichtlineare Anfangswertaufgaben für Systeme
gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung mit einer
Singularität erster Art. Basierend auf
[Koch, Kofler, Weinmüller, 2001], welches
das analytische Hintergrundwissen über die betrachtete Problemklasse
liefert, werden verschiedene Methoden der Schätzung des lokalen und
globalen Diskretisierungsfehlers von Runge-Kutta Verfahren sowie
verschiedene Gitterwahlstrategien experimentell untersucht.
Es zeigt sich, daß in der Nähe der Singularität die Ordnung
des lokalen Fehlers fast immer reduziert ist, wodurch die Schrittweitenwahl
basierend auf der Schätzung des lokalen Fehlers nicht sehr
zuverlässig ist. Im Gegensatz dazu funktionieren Methoden zur
Schätzung des globalen Diskretisierungsfehlers ausgesprochen gut. Der
globale Fehler wird gut wiedergegeben, und man erhält bereits auf
groben Gittern eine relativ genaue Schätzung, woraus ein zur
Integration singulärer Anfangswertaufgaben geeigneter Algorithmus
hergeleitet werden kann.
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- O.Koch, P.Kofler, E.B.Weinmüller,
Initial Value Problems for Systems of Ordinary First and Second
Order Differential Equations with a Singularity of the First Kind,
Analysis 21 (2001), pp. 373-389.
Abstract.
Analytical properties like existence, uniqueness and smoothness of bounded
solutions of nonlinear singular initial value problems for ordinary
differential equations of first and second order are considered. Particular
attention is paid to the structure of initial conditions which are necessary
and sufficient for the solution to be continuous.
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- O.Koch, P.Kofler, E.B.Weinmüller,
The Implicit Euler Method for the Numerical Solution of Singular Initial
Value Problems,
Applied Numerical Mathematics
34 (2000), pp. 231-252.
Abstract.
The solvability of a certain class of singular non-linear initial
value problems is discussed. Particular attention is paid to the
structure of initial conditions necessary for a bounded solution
to exist. The implicit Euler rule applied to approximate the solution
of the singular system is shown to be stable and to retain its
classical convergence order. Moreover, the asymptotic error expansion
for the global error of the above approximation is proven to have the
classical structure. Finally, experimental results showing the
feasibility of the approximation obtained by the Euler method to
serve as a basic method for the acceleration technique known as the
Iterated Defect Correction are presented.
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Some of the above results were presented at the Auckland
Numerical Analysis Workshop ("ANODE'98") in Auckland, New Zealand.
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- P.Kofler,
Theorie und numerische Lösung singulärer Anfangswertaufgaben
gewöhnlicher Differentialgleichungen mit einer Singularität
erster Art,
PH.D. Thesis, Department of Applied Mathematics and Numerical Analysis,
Vienna University of Technology, Vienna, Austria 1998.
Zusammenfassung.
Wir betrachten nichtlineare Anfangswertaufgaben für Systeme
gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung mit der
Singularität erster Art der Form
y'(x) - M(x) y(x)/x = f(x, y(x)), 0 < x <= 1,
B0 y(0) = b, bzw. B y(1) = b,
y in C[0,1].
Dabei sind y und f vektorwertige Funktionen der
Dimension n. M ist eine stetige, reelle
n x n-Matrix, B
eine konstante, reelle m x n-Matrix,
m <= n, und
b ein konstanter, reeller m-dimensionaler Vektor.
Es wird vorausgesetzt, daß f stetig bezüglich
x und Lipschitz-stetig bezüglich y ist.
Basierend auf der klassischen Theorie über Existenz und Eindeutigkeit
der Lösung von Anfangswertproblemen wird das obige Problem bzw. die
entsprechenden Systeme zweiter Ordnung bezüglich ihrer analytischen
Eigenschaften studiert, wobei insbesondere die Frage der Existenz und
Eindeutigkeit von beschränkten Lösungen geklärt wird.
Nachdem das analytische Hintergrundwissen über die betrachtete
Problemklasse erarbeitet wurde, werden verschiedene Methoden der
Schätzung des lokalen und globalen Diskretisierungsfehlers von
Runge-Kutta Verfahren, sowie verschiedene Gitterwahlstrategien
experimentell untersucht.
Es zeigt sich, daß in der Nähe der Singularität die Ordnung
des lokalen Fehlers fast immer reduziert wird, wodurch die Schrittweitenwahl
basierend auf der Schätzung des lokalen Fehlers nicht sehr
zuverlässig ist.
Im Gegensatz dazu funktionieren Methoden zur Schätzung
des globalen Diskretisierungsfehlers ausgesprochen gut. Der globale
Fehler wird gut wiedergegeben, und man erhält bereits auf groben Gittern
eine relativ genaue Schätzung.
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- P.Kofler, E.B.Weinmüller,
Numerical Treatment of Singular Boundary and Initial Value Problems,
Proceedings of Recent Advances in Applied Mathematics ("RAAM'96"),
Kuwait City, Kuwait 1996.
Abstract.
In this paper we give an overview of the theory on the singular two-point
BVPs for ODEs of second order. We discuss the solvability of the analytical
problem and the stability and convergence results of a collocation
method and a finite difference scheme when applied for its approximate
solution. Moreover, experimental results of the performance of linear
multi-step methods in case of singular initial value problems will be
presented and some open questions concerning the behavior of these
methods will be addressed.
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figure 1.
